佩尔方程是什麼

若一個丢番图方程具有以下的形式：

且d为正整数，则称此方程为佩尔方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)
若d是完全平方数，则这个方程式只有解（实际上对任意的d，都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而這些解可由的連分數求出
另外，当d为偶数时，x = − 1形式的方程无整数解

佩尔方程的解

首先根据根号7的渐进连分数表示，找出前几项，察看（分子，分母）是否是一组解。
第一项：， 不是解；
第二项：， 不是解；
第三项：， 不是解；
第四项：， 是解。
于是最小解是(8,3)。计算的各次乘方，或者用递推公式（不能直接得出某一项）就可以得到接下来的各组解
(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151;3096720)、 (130576328,49353213) ......

例子
佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式给出了环 ）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅的范数是一，即是域上的一个单元。根据迪利克雷单元定理，基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。

与代数数论的联系
佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系：若T_i (x)和 U_i (x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项，那么它们是佩尔形式方程的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。

进一步有：如果(x_i,y_i)是佩尔方程的第i个解，那么
x_i = T_i (x₁)
y_i = y₁U_{i - 1}(x₁) 。