導數是什麼

导数是微积分中的重要概念。
我們知道在運動學中，平均速度等於通過的距離除以所花費的時間，同樣在一小段間隔的時間內，除上其走過的一小段距離，等於這一小段時間內的速度，但當這一小段間隔的時間趨於零時，這時的速度為瞬時速度，無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數。得用求導的方法計算。

也就是說，一個函數的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化，當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。
導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。



函数

初等函数
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数列
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连续

间断点
导数与微分

高阶导数
介值定理
中值定理

罗尔定理
拉格朗日定理
柯西定理
泰勒公式
洛必达法则
导数的函数应用

极值
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曲率
积分

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三角函数积分表
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反双曲函数积分表
对数函数积分表
指数函数积分表
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泰勒公式
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高斯公式
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散度和旋度
常微分方程
差分方程
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微积分的几何应用

平面图形的面积
平面曲线的切线和弧长
旋转体的体积
旋转曲面的面积
曲面的切平面和法线
空间曲线的切线和法平面
微积分的物理应用

运动的位移、加速度
力所做的功
物质的质量
静力矩、惯性矩和重心
微积分的经济应用

边际
弹性、交叉弹性
收益流的现值和将来值
成本分析、净资产分析

定义
设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量Δ（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即
，
也可记作， 或
若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'、或者
导函数的定义表达式为：

值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点x₀处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

一般定义
如右图所示，设P₀为曲线上的一个定点，P为曲线上的一个动点。当P沿曲线逐渐趋向于点P₀时，并且割线PP₀的极限位置P₀T存在，则称P₀T为曲线在P₀处的切线。
若曲线为一函数y = f(x)的图像，那么割线PP₀的斜率为：

当P₀处的切线P₀T，即PP₀的极限位置存在时，此时，，则P₀T的斜率tanα为：

上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则f'(x₀) = tanα，故导数的几何意义即曲线y = f(x)在点P₀(x₀,f(x₀))处切线的斜率。

几何意义
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来：

上式中，后两个式子可以定义为函数在x₀处的左右导数：
用两个函数的例子来说明函数可导的条件。
1.上面这个符号函数在x = 0处可导吗？

该函数在x = 0处的左导数为：
这个极限发散，不存在，故这个符号函数在x = 0处不可导。
2.上面这个绝对值函数在x = 0处可导吗？

该函数在x = 0处的左导数为：
该函数在x = 0处的右导数为：
该函数在x = 0处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故这个绝对值函数在x = 0处不可导。
以上两个函数都是在定义域内连续的函数，由此就可以得出一个结论：连续的函数不一定处处可导。
但处处可导的函数一定处处连续。
Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀)
所以：

即函数f(x)在x₀处连续。

求出导数在x = 0处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：
求出导数在x = 0处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：
注意：上面所用的定义式为推导定义式。
证明：设函数f(x)上一点x₀，函数在这一点可导，即存在，其中

函数可导的条件
在解决函数的导数问题上，利用定义實在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则，以利于更好地解决各类求导的问题。

具体的求导方法，请参见求导。

导数的求导法则
特别地，对于常数C：
以上法则的证明中，对于1，可以利用极限的运算法则验证；对于2，可以直接使用导数定义证明，证明如下：

= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

证明[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)


证：

四则运算的求导法则

复合函数求导

我们可以用一个例子来说明：试求函数y = arcsinx( | x | < 1)的导函数。
解：
y = arcsinx( | x | < 1)是的反函数，且x = siny在开区间上严格单调、可导，且(siny)' = cosy > 0因此由反函数求导法则可得：在对应区间I_y = ( − 1,1)内有：

反函数的求导
对于参数方程： 其中φ(t)和ψ(t)可导，且，于是可以根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为：

对于极坐标方程，根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为：

参数方程和极坐标方程的求导
隐函数的求导方法的基本思想是要把方程F(x,y) = 0中的y看作x的函数y(x)，方程两端对x求导，然后再解出隐函数的导数。
试求由方程所确定的y关于x的隐函数的导数，其中(x,y > 0)。
方程的两边同时对x求导得：




有关隐函数的定义，参见隐函数。
通过例题，应当注意方程两边求导的对象是x，而y是用x表示的，相当于一个x的复合函数，故根据复合函数的求导法则：

隐函数的求导

基本函数的导数
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。


导数可以表示成为当函数曲线的一条割线转变为切线时其斜率的极限. 通常, 直接求给定函数的切线的斜率是困难的, 因为我们仅仅知道切线和曲线相交的点的坐标. 相反, 我们将使用割线来近似切线. 然后当我们计算切线斜率的极限时, 我们就能获得切线的斜率. 简单而言, 我们需要计算如下极限.