在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间到自身的线性变换 P，使得 P
尽管抽象，投影的这个定义形式化和一般化了平行投影的概念。你还可以考虑在几何物体上的投影的效果，通过检查在这个物体上的点的投影的效果。
简单例子
假定底层的向量空间是有限维的(因此问题如投影的连续性不需要考虑)。
如上所述，投影 P 是幂等的线性变换，意味着 P 向量空间的分解成直和一般不是唯一的。因此，给定一个子空间 V，一般的说有很多其值域(或核)是 V 的投影。
只有 0 和 1 可以是投影的特征值。对应于特征值 0 的特征空间是零空间 V，对应于 1 的特征空间是值域 U。
分类
如果底层的向量空间被赋予了内积，正交和它的辅助概念(比如线性算子的自伴随性)就变为可用了。正交投影是值域 U 和零空间 V 是正交子空间的投影。投影是正交的，当且仅当它是自伴随的，这意味着在实数向量空间的上下文中，关联的矩阵相对于正交基是对称的: P = P。
所有这些公式对于复数内积空间也成立，假如用共轭转置替代转置。
正交投影术语
斜投影有时用来提及非正交投影。这些投影也用来在二维绘图中表示空间图形(参见斜投影)，尽管不如正交投影常用。
斜投影用它们的值域和零空间来定义。有给定值域和零空间的投影的矩阵表示的公式可如下这样找到。设向量 u
1, …, u
k 形成了投影的值域的基，并把这些向量组合到 n×k 矩阵 A 中。值域和零空间是互补空间，所以零空间有维度 n − k。它推出零空间的正交补有维度 k。设 v
1, …, v
k 形成这个投影的零空间的正交补的基，并把这些向量组合到矩阵 B 中。则投影定义为
。
这个表达式一般化上面给出的正交投影公式。
斜投影
当底层向量空间 X 是(不必需有限维)赋范向量空间，需要考虑无关于有限维情况的分析问题，假定现在 X 是巴拿赫空间。
上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的 X 的直和分解成补子空间仍指定一个投影，反之亦然。如果 X 是直和 X = U ⊕ V，则定义自 P(u + v) = u 的算子仍是有值域 U 和核 V 的投影。明显的也 P = P，就是说它是个投影。φ 的有界性蕴涵了 P 的连续性，因此 Ker(P) = Ran(I − P) 是 U 的闭合补子空间。
在赋范向量空间上的投影
中心矩阵，它是投影矩阵的例子。
正交化
不变子空间
透视投影
注解
N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.
Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. ISBN 978-0-89871-454-8.
