在数学中，
椭圆(来自希腊语的 absence)是平面上从曲线上任何点到两个固定点的距离和是常数的轨迹。这两个固定点叫做
焦点。
經由這個定義，我們可以很輕鬆的畫出一個橢圓。先準備一條線，將這條線的兩端綁各綁在一點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點），接著拿起一支筆，從線的一端往另一端移動使線繃緊，到極限為止，這時候兩個點和筆就會形成一個三角形，然後拉著線開始作圖，持續的使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓的圖形了。
椭圆是一种圆锥曲线: 如果如果一个平面切截一个圆锥面并不交于它的底面，则圆锥和平面交截线是个椭圆。
在代数上说，椭圆是在笛卡尔平面上如下形式的方程所定义的曲线
使得
，这里的系数都是实数，并存在定义在椭圆上的点对 (x, y) 的多于一个的解。
穿过两焦点并终止于椭圆上的线段 AB 叫做
长轴。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最常线段。穿过中心(两焦点的中点)垂直于长轴并且终止于椭圆的线段 CD 叫做
短轴。
半长轴(图中指示为 a)是长轴的一半: 从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。类似的，
半短轴(图中指示为 b)是短轴的一半。
如果两个焦点重合，则这个椭圆是圆；换句话说，圆是离心率为零的椭圆的特殊情况。
中心位于原点的椭圆
可以被看作单位圆在关联于对称矩阵
的线性映射下的图像，这里的 D 是带有
的特征值的对角矩阵，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是拥有
的特征向量作为纵列的实数的酉矩阵。椭圆的长短轴分别沿着
的两个特征向量的方向，而两个与之对应的特征值分别是
半长轴和
半短轴的长度的平方的倒数。
椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成。
离心率中心位于点 (h,k) 的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定
.
这个椭圆可以参数化表达为
这里的 t 可以限制于区间
。
如果 h = 0 且 k = 0 (就是说，如果中心是原点(0,0))，则
用极坐标可表达为
这里的
是椭圆的离心率。
有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是
.
方程椭圆的半正焦弦，通常指示为
)，是从椭圆的一个焦点到椭圆自身，沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于
和
(椭圆的半轴)，通过公式
或者如果使用离心率的话
。
在极坐标中，一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程
椭圆可以被看作是圆的投影: 在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆，假定 φ 不是 90°。
面积和周长如果在一个平面内一个
动点到两个
定点的距离的和等于
定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的图像如果在直角坐标系中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程：
在方程中，所设的
称为长轴长，
称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么
称为焦距。在假设的过程中，假设了a > c，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当
时，这个动点的轨迹是一个圆；当
时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意，在假设中，还有一处：
。
通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。
标准方程的推导对于平面上任意椭圆 Ax + f = 0
的形式。具体步骤为，将后式的各乘积乘方项展开，根据与前式对应项系数相等的法则便可求得u,v,f的值。其中，(u,v)便是原椭圆的中心。
若将
带入式中便可得到平移前的椭圆。
若
,则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直，即发生了旋转。设旋转的角度为
, 则有
当A-C=0，则说明
若将
带入式中便可得到旋转前的椭圆。
，这里的 'a' 和 'b' 是半长轴和半短轴。在圆的情况下 a = b，表达式简化为 πa。
，这里的函数 E 是第二类完全椭圆积分。
或:
一个好的近似是拉马努金的:
它还可以写为:
