欧氏几何是什麼

欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。本文主要描述平面几何。 三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波約（Bolyai）證明第五公設是錯誤的，也就是「三內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里德的幾何學，即「非歐幾何」（non-Euclidean geometry）。

公理描述
如今，欧几里德几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里德（或非欧几里德）几何中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。
首先，定义“点的集合”为实数对 (x,y) 的集合。给定两个点 P = (x,y) 和 Q = (z,t)，定义距离：
.
这就是“欧几里德度量”。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点 P 和 Q 的直线可以定义成点的集合 A 满足
| PQ | = | PA | + | AQ | 或 。

构造

现代方法

塞瓦定理
梅涅劳斯定理
托勒密定理
海伦公式
九点圆
勾股定理

经典定理

非欧几里德几何